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二叉树

二叉树

「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。

    class TreeNode:
        """二叉树节点类"""
        def __init__(self, val: int):
            self.val: int = val                # 节点值
            self.left: TreeNode | None = None  # 左子节点引用
            self.right: TreeNode | None = None # 右子节点引用

=== "C++"

    /* 二叉树节点结构体 */
    struct TreeNode {
        int val;          // 节点值
        TreeNode *left;   // 左子节点指针
        TreeNode *right;  // 右子节点指针
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };

    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        int val;         // 节点值
        TreeNode left;   // 左子节点引用
        TreeNode right;  // 右子节点引用
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }

=== "C#"

    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        int val;          // 节点值
        TreeNode? left;   // 左子节点引用
        TreeNode? right;  // 右子节点引用
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }

    /* 二叉树节点结构体 */
    type TreeNode struct {
        Val   int
        Left  *TreeNode
        Right *TreeNode
    }
    /* 构造方法 */
    func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
        return &TreeNode{
            Left:  nil, // 左子节点指针
            Right: nil, // 右子节点指针
            Val:   v,   // 节点值
        }
    }

    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        var val: Int // 节点值
        var left: TreeNode? // 左子节点引用
        var right: TreeNode? // 右子节点引用

        init(x: Int) {
            val = x
        }
    }

    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        val; // 节点值
        left; // 左子节点指针
        right; // 右子节点指针
        constructor(val, left, right) {
            this.val = val === undefined ? 0 : val;
            this.left = left === undefined ? null : left;
            this.right = right === undefined ? null : right;
        }
    }

    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        val: number;
        left: TreeNode | null;
        right: TreeNode | null;
    
        constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
            this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
            this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点引用
            this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点引用
        }
    }

    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
      int val;         // 节点值
      TreeNode? left;  // 左子节点引用
      TreeNode? right; // 右子节点引用
      TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
    }

    use std::rc::Rc;
    use std::cell::RefCell;

    /* 二叉树节点结构体 */
    struct TreeNode {
        val: i32,                               // 节点值
        left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,    // 左子节点引用
        right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,   // 右子节点引用
    }

    impl TreeNode {
        /* 构造方法 */
        fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
            Rc::new(RefCell::new(Self {
                val,
                left: None,
                right: None
            }))
        }
    }

    /* 二叉树节点结构体 */
    typedef struct TreeNode {
        int val;                // 节点值
        int height;             // 节点高度
        struct TreeNode *left;  // 左子节点指针
        struct TreeNode *right; // 右子节点指针
    } TreeNode;

    /* 构造函数 */
    TreeNode *newTreeNode(int val) {
        TreeNode *node;

        node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
        node->val = val;
        node->height = 0;
        node->left = NULL;
        node->right = NULL;
        return node;
    }

每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。

在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。如下图所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。

父节点、子节点、子树
父节点、子节点、子树

二叉树常见术语

二叉树的常用术语如下图所示。

  • 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
  • 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 None\text{None} 。
  • 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
  • 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
  • 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
  • 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
  • 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
  • 节点的「高度 height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量。
二叉树的常用术语
二叉树的常用术语

提示

请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。

二叉树基本操作

初始化二叉树

与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。

    # 初始化二叉树
    # 初始化节点
    n1 = TreeNode(val=1)
    n2 = TreeNode(val=2)
    n3 = TreeNode(val=3)
    n4 = TreeNode(val=4)
    n5 = TreeNode(val=5)
    # 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5

=== "C++"

    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1->left = n2;
    n1->right = n3;
    n2->left = n4;
    n2->right = n5;

    // 初始化节点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;

=== "C#"

    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode n1 = new(1);
    TreeNode n2 = new(2);
    TreeNode n3 = new(3);
    TreeNode n4 = new(4);
    TreeNode n5 = new(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;

    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    n1 := NewTreeNode(1)
    n2 := NewTreeNode(2)
    n3 := NewTreeNode(3)
    n4 := NewTreeNode(4)
    n5 := NewTreeNode(5)
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.Left = n2
    n1.Right = n3
    n2.Left = n4
    n2.Right = n5

    // 初始化节点
    let n1 = TreeNode(x: 1)
    let n2 = TreeNode(x: 2)
    let n3 = TreeNode(x: 3)
    let n4 = TreeNode(x: 4)
    let n5 = TreeNode(x: 5)
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5

    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;

    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;

    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;

    // 初始化节点
    let n1 = TreeNode::new(1);
    let n2 = TreeNode::new(2);
    let n3 = TreeNode::new(3);
    let n4 = TreeNode::new(4);
    let n5 = TreeNode::new(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
    n1.borrow_mut().right = Some(n3);
    n2.borrow_mut().left = Some(n4);
    n2.borrow_mut().right = Some(n5);

    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
    TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
    TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
    TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
    TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1->left = n2;
    n1->right = n3;
    n2->left = n4;
    n2->right = n5;

插入与删除节点

与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。下图给出了一个示例。

在二叉树中插入与删除节点
在二叉树中插入与删除节点
    # 插入与删除节点
    p = TreeNode(0)
    # 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = p
    p.left = n2
    # 删除节点 P
    n1.left = n2

=== "C++"

    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode* P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1->left = P;
    P->left = n2;
    // 删除节点 P
    n1->left = n2;

    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;

=== "C#"

    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode P = new(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;

    /* 插入与删除节点 */
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    p := NewTreeNode(0)
    n1.Left = p
    p.Left = n2
    // 删除节点 P
    n1.Left = n2

    let P = TreeNode(x: 0)
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P
    P.left = n2
    // 删除节点 P
    n1.left = n2

    /* 插入与删除节点 */
    let P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;

    /* 插入与删除节点 */
    const P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;

    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;

    let p = TreeNode::new(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
    p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
    // 删除节点 p
    n1.borrow_mut().left = Some(n2);

    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode *P = newTreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1->left = P;
    P->left = n2;
    // 删除节点 P
    n1->left = n2;

!!! note

需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

常见二叉树类型

完美二叉树

「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 00 ，其余所有节点的度都为 22 ；若树高度为 hh ，则节点总数为 2h+1−12^{h+1} - 1 ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。

提示

请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」。
完美二叉树
完美二叉树

完全二叉树

如下图所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

完全二叉树
完全二叉树

完满二叉树

如下图所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

完满二叉树
完满二叉树

平衡二叉树

如下图所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

平衡二叉树
平衡二叉树

二叉树的退化

下图展示了二叉树的理想与退化状态。当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。

  • 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
  • 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 O(n)O(n) 。
二叉树的最佳与最差结构
二叉树的最佳与最差结构

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。

表 -  二叉树的最佳与最差情况

完美二叉树链表
第 ii 层的节点数量2i−12^{i-1}11
高度 hh 树的叶节点数量2h2^h11
高度 hh 树的节点总数2h+1−12^{h+1} - 1h+1h + 1
节点总数 nn 树的高度log⁡2(n+1)−1\log_2 (n+1) - 1n−1n - 1